第3节 最优化问题

3.1 最小成本计算

前言

定义

理论概念

最优化：找函数的最高点（最大利润）或最低点（最小成本）。

• 通俗例子：汽车油离配合，找到最省油的速度
• 工作例子：生产多少件产品，平均成本最低

一、案例背景

已知企业总成本函数（x 为产量）：
cost = x²/3 + 5x + 100
求：平均成本最低时的产量与最低平均成本。

二、核心原理

平均成本 = 总成本 ÷ 产量
当平均成本的导数 = 0 时，平均成本达到最小。

三、Python 代码

from sympy import *

# 定义符号变量 x 表示产量，x>0
x = symbols('x', positive=True)
# 总成本函数
cost = x**2 / 3 + 5 * x + 100
# 平均成本 = 总成本 / 产量
cost_avg = cost / x
# 对平均成本求导
cost_avg_d = diff(cost_avg, x)
# 解方程：导数=0，得到最优产量
best_x = solve(cost_avg_d, x)[0]
# 计算最低平均成本
min_avg_cost = cost_avg.subs(x, best_x)
# 输出结果
print("最优产量：", best_x.evalf())
print("最低平均成本：", min_avg_cost.evalf())

四、核心API说明

• symbols：定义符号变量 x，代表产量
• diff：对函数求导，找到斜率为0的极值点
• solve：解方程，求出导数为0时的最优产量
• subs：将最优产量代入，计算最低平均成本

五、运行结果

最优产量： 17.3205080756888
最低平均成本： 16.5470053837925

可视化结果

六、结果解说

• 当产量为 17 件时，产品的平均成本最低。
• 此时每件产品的平均成本为 16。
• 工作应用：工厂按产量 17 件组织生产，单位成本最低。
• 斜率等于0的时候，边际成本等于边际收入，此时为最优产量。

3.2 最大利润计算

前言

定义

案例背景

已知企业成本函数与价格函数（x 为产量）：
成本 cost = 500 + 2x²
价格 price = 100 − x/5
求：总利润最大时的产量与最大利润。

核心原理

总利润 = 收入 − 成本
对利润求导=0，即可找到利润最大的产量；
二阶导数＜0，说明该点为极大值点。

Python 代码

from sympy import *

# 定义符号变量 x（产量，正数）
x = symbols('x', positive=True)
# 成本函数
cost = 500 + 2 * x ** 2
# 价格函数
price = 100 - x / 5
# 总利润 = 产量 × 价格 − 总成本
profit = x * price - cost
# 对利润函数求一阶导数
profit_d = diff(profit, x)
# 解方程：导数=0，求最优产量
best_x = solve(profit_d, x)[0]
# 代入最优产量，计算最大利润
max_profit = profit.subs(x, best_x)
# 输出结果
print("最优产量：", best_x.evalf())
print("最大利润：", max_profit.evalf())

核心 API 说明

• symbols：定义符号变量 x，表示产量
• diff：对利润函数求导，找到极值点
• solve：解方程，求导数为 0 时的最优产量
• subs：将最优产量代入，计算最大利润

运行结果

最优产量： 22.7272727272727
最大利润： 636.363636363636

结果解说

1. 模型求解成功，得到精确符号解。
2. 最优产量为：22
3. 对应的最大利润为：636
4. 经济含义：当产量为 22 时，企业总利润达到最大，为最优生产产量。

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第4节 改变量分析

4.1 平均变化率

前言

定义

一、概念

改变量：当产量从1000变到2000，成本、收入、利润各自变了多少。

• 通俗例子：体重从50kg到60kg，增加了10kg
• 工作例子：产量涨1000，利润涨多少

一、案例背景

银行利率随时间变化，利率函数为：
r(t) = 0.02 + 0.01t
需要计算第1年到第4年的平均利率。

二、理论说明

平均变化率 = 函数在区间上的积分 ÷ 区间长度
在经济金融中，常用于计算平均利率、平均收益率、平均增长率。

三、代码

from sympy import *
t = symbols('t')
r = 0.02 + 0.01 * t
t1 = 1
t2 = 4
print("平均利率：", integrate(r, (t, t1, t2)) / (t2 - t1))

四、核心API说明

• symbols：定义符号变量 t，表示时间
• integrate：对利率函数在时间区间内积分，计算总利息
• 积分结果 ÷ 时间长度 → 得到平均利率

五、结果解说

• 第1年到第4年的平均利率 = 0.045 = 4.5%
• 工作例子：银行用于给客户计算区间平均收益率
• 直观理解：利率逐年上升，平均下来为 4.5%
  • 直观例子：本金：10000 元平均利率：4.5%；存 3 年：每年利息 = 10000 × 4.5% = 450 元；3 年总利息 = 450 × 3 = 1350 元

4.2 经济函数改变量

前言

定义

一、案例背景

已知企业的边际成本、边际收入函数如下：

• 边际成本：C = 50
• 边际收入：R = 0.1x + 200
• 边际利润：P = R – C

现计算产量从 1000 增加到 2000 时，总成本、总收入、总利润的改变量。

二、理论说明

在经济分析中，边际函数的积分就是总函数的改变量：

• 总成本变化 = 边际成本在产量区间上的积分
• 总收入变化 = 边际收入在产量区间上的积分
• 总利润变化 = 边际利润在产量区间上的积分

三、代码

from sympy import*
x=symbols('x')
C=50
R=0.1*x+200
P=R-C

p1=1000
p2=2000
print("成本变化：", integrate(C,(x,p1,p2)))
print("收入变化：", integrate(R,(x,p1,p2)))
print("利润变化：", integrate(P,(x,p1,p2)))

四、核心API说明

• symbols：定义符号变量 x，表示产量
• integrate：对边际函数做定积分，计算总量变化
• 积分区间 (p1, p2) 表示产量从 p1 到 p2

五、结果解说

• 产量从 1000 增加到 2000：
  • 总成本增加：50000
  • 总收入增加：350000
  • 总利润增加：300000
• 工作例子：企业用于评估扩产收益，辅助制定生产与销售目标

上述例子还可以计算不同产量区间的总成本、总收入、总利润，从而分析企业的生产与销售策略。
比方说：

• 产量从 1000 增加到 2000，总成本 50000，总收入 350000，总利润 300000。
• 产量从 2000 增加到 3000，总成本 50000，总收入 450000，总利润 400000。
• 产量从 3000 增加到 4000，总成本 50000，总收入 550000，总利润 500000。
• 产量从 4000 增加到 5000，总成本 50000，总收入 650000，总利润 600000。

第5节 多值计算

5.1 三种商品利润率

前言

定义

一、案例背景

某企业有 3 种商品，连续 3 年的销售量与对应总利润如下：

• 第 1 年：销售商品 1、2、3 分别为 300、200、300 件，总利润 70 万元
• 第 2 年：销售商品 1、2、3 分别为 200、100、500 件，总利润 60 万元
• 第 3 年：销售商品 1、2、3 分别为 200、300、400 件，总利润 80 万元

通过矩阵求解线性方程组，计算每种商品的单位利润率。

二、理论说明

设三种商品的单位利润分别为 $x_1、x_2、x_3$，根据每年销量与总利润建立线性方程组：

$$\begin{cases} 300x_1 + 200x_2 + 300x_3 = 70 \\ 200x_1 + 100x_2 + 500x_3 = 60 \\ 200x_1 + 300x_2 + 400x_3 = 80 \end{cases}$$

写成矩阵形式 $MX=N$，用 np.linalg.solve 直接求解，得到各商品利润率。

三、代码

import numpy as np

# 销量系数矩阵 M
m = np.array([
    [300, 200, 300],
    [200, 100, 500],
    [200, 300, 400]
])

# 每年总利润矩阵 N
n = np.array([[70], [60], [80]])

# 求解线性方程组
profit_rate = np.linalg.solve(m, n)

# 输出结果
print("商品1单位利润：", profit_rate[0, 0])
print("商品2单位利润：", profit_rate[1, 0])
print("商品3单位利润：", profit_rate[2, 0])

四、核心API说明

• np.array：构造系数矩阵与利润常数矩阵
• np.linalg.solve：求解多元线性方程组，得到各商品单位利润

五、结果解说

商品1单位利润：0.0882
商品2单位利润：0.1294
商品3单位利润：0.0588

• 商品 2 单位利润率最高，是核心利润来源
• 商品 1 利润率次之，商品 3 利润率最低
• 工作例子：企业可优先加大商品 2 的推广与生产，提升整体利润

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使用矩阵计算，可以快速求解线性方程组，得到每种商品的利润率。

import numpy as np
m=np.array([[300,200,300],[200,100,500],[200,300,400]])
n=np.array([[70],[60],[80]])
print(np.linalg.solve(m,n))